根号-1等于多少？上过高中的人都知道，它不是实数，而是虚数，一般写作i。复数就是形如z = x + yi的数，其中x和y是两个实数。请问，复数是不是描述物理世界所必需的？这个问题意外的深奥，最近刚刚由中国科学家得到一个明确的答案（
http://news.ustc.edu.cn/info/1055/78317.htm）。
在二十世纪之前，普遍的看法是，复数只是一种数学构造，并不是物理理论的必需。例如用复数可以方便地描述波动或者电路，但这只是一种数学技巧。完全用实数也足以描述这些现象，只是稍微麻烦一点而已。因为说到底，可观测的所有物理量都是实数，例如位置、动量、角动量、质量。实际上，“虚数”这个名字就隐含着“跟现实无关”的意思。
然而二十世纪初，量子力学出现之后，情况发生了翻天覆地的变化。量子力学里描述一个体系的数学形式叫做波函数，往往写作ψ，它是一个复函数。量子力学里的基本方程叫做薛定谔方程，它是一个复数方程。薛定谔的墓碑上就刻着这个方程，i ? ψ dot = H ψ。你看，第一个字母就是虚数单位i！
所以一百年来，包括我在内的所有学过量子力学的人，都记住了复数是量子力学里必不可少的。杨振宁先生评论过：“量子力学是人类历史上一个大革命，发展以后，发现基本物理里头要用到i = 根号-1。念过高中数学的人，恐怕还记得这个i。它在量子力学以前也出现过，可是不是基本的，只是一个工具。到了量子力学发展以后，它就不只是个工具，而是一个基本观念了。为什么基础物理学必须用这个抽象的数学观念：虚数i，现在没有人能解释。”
你可能会问，难道量子力学里的物理量不是实数了吗？难道你会测得一个体系的位置或动量是虚数吗？回答是不会，量子力学仍然会保证所有这些量都是实数，——在经过一系列的复数运算之后。这就是量子力学的精妙之处。例如单粒子的波函数ψ是一个关于粒子坐标x, y, z的函数，ψ在(x, y, z)这一点的绝对值的平方就是粒子出现在这一点的概率密度。复数取了绝对值当然就是实数了，大家明白这意思了吧？
然而，一直有些理论家在努力地尝试把量子力学纯粹用实数表达出来。也就是说，他们希望把复数在量子力学中的作用降低到在波动理论或电路理论中的水平，即有用但非本质。其实对于单粒子体系，这样的理论很容易构造。因为一个复数就相当于两个实数，一个实部加一个虚部，所以把变量数目加倍就行了。用专业语言说，就是把希尔伯特空间的维度加倍，这样就可以构造一个跟标准理论完全等价的纯实数理论。
然而量子力学最奇妙的地方并不在于单粒子，而在于多个粒子之间的量子纠缠。大家看我最近出版的科普书《量子信息简话》，就可以明白量子纠缠是什么意思，它为什么如此奇妙。
用专业语言说，量子纠缠推翻了“局域实在论”，即真实世界或者不是局域的，或者不是实在的，或者两者都不是。所以对于纯实数理论来说，真正的考验在于，它能不能跟标准理论同样好地描述量子纠缠？
近年来，这方面的努力取得了出人意料的进展（
https://www.nature.com/articles/d41586-021-03678-x）。如果两个纠缠的粒子由同一个粒子源产生，但分开测量，实数理论能不能描述呢？2008年得到了结论：它可以。然后人们又问：如果同一个粒子源产生任意多个纠缠的粒子，然后分开测量，实数理论能不能描述呢？2013年又得到了结论：它仍然可以！
算上最初的单粒子体系，实数理论已经连闯了三关。这时人们开始猜测，也许它可以通过所有考验，也就是说，对于任何可以设想的实验，实数理论都可以得到跟标准理论相同的结论。假如真是这样，复数在量子力学中的作用就不是本质的了，教科书就要修改了。
然而，真正出人意料的是，实数理论气势如虹的进展居然被阻止了！
2021年12月15日，西班牙、奥地利、瑞士科学家Renou等人在《Nature》发表文章，标题是《基于实数的量子理论可以被实验证伪》（Quantum theory based on real numbers can be experimentally falsified）（
https://www.nature.com/articles/s41586-021-04160-4）。他们指出，可以构造这样的实验：两个粒子源各自产生一对纠缠粒子，然后送到三个探测器。一号粒子源产生的是A和B1，二号粒子源产生的是B2和C。A和C分别进入最左边和最右边的探测器，而B1和B2进入中间的探测器，在这里对这两个粒子进行一个纠缠态的测量，也就是说强迫这两个原本不纠缠的粒子变得纠缠起来。这个过程叫做“纠缠交换”，因为最终会导致两端的A和C也产生了纠缠。他们证明了，这个过程用实数理论是无法描述的。无论把实数理论怎么修改，对某些值的预测都会跟标准理论的预测值有区别。
实验框架提出来了，下一步就是真正去做实验了。2022年1月，中国的两个实验组就用两种物理体系实现了这个测量。我的中国科学技术大学同事潘建伟院士、陆朝阳教授、朱晓波教授等人和西班牙塞维利亚大学Cabello教授合作，用的是超导体系。南方科技大学范靖云、杨胜军、李正达等人和电子科技大学王子竹以及西班牙、瑞士、奥地利等国家的科学家合作，用的是光学体系。
南科大团队实验场景
两个实验都得到了否定实数理论的结论，只是否定的力度不一样（
https://baijiahao.baidu.com/s?id=1723374973319653921）。中科大的实验结果是以43个标准差排除了实数理论，这是一个高得惊人的置信度，因为5个标准差下统计误差的概率就只有千万分之三了，43个标准差简直是实锤的八次方。而南科大的实验结果只有4.5个标准差，置信度就低了一点，当然这跟体系有关。但无论对于哪种物理体系，这都是难度很高的实验。两个实验组都展现了高超的技术，这些技术会在很多领域发挥作用。
中科大团队实验结果
这些实验说明，复数仍然是量子力学中不可或缺的。例如，美国物理学会对此的评论文章标题就是《量子力学必须是复数的》（Quantum mechanics must be complex）（
https://physics.aps.org/articles/v15/7）。经过一轮否定之否定，我们再次确认了教科书上的标准理论。然而，我们的世界为什么会需要复数？背后有什么深层的原因？这启发我们更多的思考与探索。
最后说一句，有些媒体没有搞明白这些研究的背景，例如说“如果复数有物理意义而不再是数学工具，整个物理学的根基都会改变了”。实际上，学过量子力学就会知道，这个改变早已在一百年前发生过了！